回路技術

テブナンの定理の具体的使用例とオンライン勉強会への参加報告

久しぶりの投稿になってしまいましたが、皆さん元気にしてますか?

僕はと言いますと、プライベートを色々と駆け抜けていたので、勉強は続けていたもののブログは放置気味になっておりました。

そんな中、「おとなり理科」というサイトを主催しているおたれさんからtwitterにてオンライン勉強会の誘いを受けまして、先週より開始したアナログ回路の勉強会に参加しております。

https://otonarika.tech/journal-club2021_analog-circuit/

使用する本は、アナログ電子回路 -集積回路化時代の-という本です。

これを機にここらで一発、リハビリも兼ねてブログを更新しとこうと思い書いた次第です。

早速、第一章の担当になり分からないながらも勉強をしておりましたところ、テブナンの定理について書かれていまして、よくよく耳にはするれど実際に使ったことがなかったので使い方も知りませんでした。

しかして、いざその定理を使用してみますと、これは大変便利なのでは?ということがわかったので、具体的な例をもとに実際に計算を記しておきます。

テブナンの定理の具体的な使い方

問題:電圧比\(v_{2} / v_{1}\)を求めよ

真面目にやろうとすると、結構計算が煩雑になりあってるのか不安になってきます。
ここで、分圧してこっちは並列でーとやっていたのですがなかなか計算が合いません。

ということで、先ほど学んだばかりのテブナンの定理を使おうと思ったわけです。

右側から見たインピーダンス\(Z_{0}\)を求める

 

 

まずは、合成インピーダンスを求めてみましょう。
一番右のC3は放置して、矢印側の回路のみに着目して合成インピーダンスを求めます。

すると、R2とC2は直列接続でR1と並列につながっています。

なのでこの部分の合成インピーダンス\(Z_0\)は

\begin{align}
Z_{\rm 0} &=& R_{1} // ( R_{2} + \frac{1}{sC_{2}})\tag{1}\\
&=&\frac{R_1(R_2 + \frac{1}{sC_{2}})}{R_1 + R_2 + \frac{1}{sC_{2}}}\\
\end{align}

となります。
ここでは、計算がめんどくさくなるので\(jw = s\)と置きました。

\(v_{1}^{\prime}\)を求める

赤い点線の左側にある\(v_{1}^{\prime}\)はR1とR2 + C2の直列接続として見ることができます。
よって分圧の式から、
\begin{align}
v_{1}^{\prime} &=& \frac{R_2 + \frac{1}{sC_{2}}}{R_1 + R_2 + \frac{1}{sC_{2}}}\tag{2}\\
\end{align}

ここで、上述の式(1)と(2)の分子で共通している部分がかなりあることがわかります。
後の計算の簡略化のため、

\begin{align}
A &=& R_1 + R_2 + \frac{1}{sC_{2}}\\
B &=& R_2 + \frac{1}{sC_{2}}
\end{align}
とおいて計算することにします。

さて、これまでの変化を反映させた図を見てみましょう。
ここまでくればもうただの直列接続ですね!

\(v_{2}\)を求める

分圧の式からC3にかかる電圧V2を立式して計算しますと
\begin{align}
v_2&=& \frac{\frac{1}{sC_{3}}}{Z_0+ \frac{1}{sC_{3}}} v_1^{\prime}\\
&=& \frac{1}{sC_{3}Z_0 + 1}v_1^{\prime}\\
&=& \frac{1}{sC_{3}\frac{R_1B}{A} + 1 }\frac{B}{A}v_1\\
&=& \frac{B}{ sC_{3}R_1B + A}v_1\\
&=& \frac{R_2 + \frac{1}{sC_{2}}}{sC_3R_1(R_2 + \frac{1}{sC_{2}}) + R_1+ R_2 + \frac{1}{sC_{2}} }v_1\\
&=& \frac{sC_2R_2 + 1}{sC_3R_1(sC_2R_2 + 1) + sC_2(R_1 + R_2) + 1}v_1\\
&=& \frac{sC_2R_2 + 1}{S^2C_2C_3R_1R_2 + s(R_1C_3 + R_1C_2 +R_2C_2) + 1}v_1
\end{align}

となります。
これでやっとv2/v1が出せますね!
\begin{align}
\frac{v_2}{v_1}&=& \frac{sC_2R_2 + 1}{S^2C_2C_3R_1R_2 + s(R_1C_3 + R_1C_2 +R_2C_2) + 1}
\end{align}
となるわけです。
これをやってから、テブナンの定理の力が身に沁みました。