回路技術

キャパシタンス(コンデンサ)の電気容量を求めよう

こんばんは。たぬしです。

この間、過渡現象の記事を書いていて、キャパシタンスが出てきた

よくよく考えてみると、この充電できる素子は、そもそもどういうものか?という気持ちが生まれ、過渡現象とは何か?でモチーフにした、対面型の平板コンデンサ(キャパシタンスの事)について考えてみたいと思う!

そもそもキャパしタンスとはどういう働きをする素子か!

ざっくり言うと、電荷を蓄える装置である。ちょっとした模型で考えてみよう。

2個の導体に電荷+qと-qが下図のように、それぞれ存在しているとしよう。すると、クーロン力で+と-が引き合って、とどまるはずだ。この力によって、電荷が逃げなければ、導体上に電荷を貯めることができるだろう。
クーロン力は距離が遠くなれば弱まるから、近いとより強く引きつけあって、多くの電荷が溜まると考えられる。
また、単純に面積が大きければ、たくさん電荷がいることが予想される。つまり、キャパシタンスの容量は、面積が大きく、近ければ大きくなる感じがする。
これを、ある程度真面目に解いてみよう!

 

2枚の平板状導体を平行に並べたキャパシタンスの電気容量

下記の図のように、面積A [m\(^2\)]の極板を、極板間距離d[m]離して2枚平行に並べるとする。このキャパシタンスの電気容量を求めよう!この導体一つの全電荷が、それぞれ+qおよび-qであったとする。
面積A[m\(^2\)]が十分に広ければ、一様な密度で広がっていると見なせるので、単位面積当たり\( \sigma= \pm q A\)となる。
二つの異なる電荷があるので、クーロン力で引力が生じる。
ここで重要なのが、一様な密度で電荷が存在してると仮定したので、上の黒矢印で示したように電場Eも一様だ。
高校で習ったように、
\begin{align}
q = CV
\end{align}

なので、極板間の電位がわかれば、電気容量Cがわかる。
しかし、今や電場Eも電位Vも分かってはいないので、まず、電場を求める。その次に電位を求める。

極板が生み出す電場を求めよう

ゼーハー、ゼーハーっ!たぬし氏図を書くにの疲れたたーぬ。

さて、平板の電場Eを求めるターヌよ。静電場におけるガウスの法則(の積分形というのかな?)を使うのです。
ガウスの法則は、電荷が存在することによって、その周りの空間の状態が変わる。例えば、普段意識していない、重力も場のうちの一つだ。
重力がない場合は、プカプカと宙に浮いていられるけれど、地球には重力場があるので、物が重さを持って、人間にとっては、地面の方向へと物が引きつけられている。つまり、我々を含め、地球では物質には何らかの力が働いていて、引力を持っているということだ。詳細はさておき、これが場の効果だ。
電荷が存在するだけで、重力とは異なるタイプの場が生じるのだ。
そこらへんは、多分書かないけれど(もし、要望とかあれば書くやもたーぬ)、大学の電磁気学で最初の方にやるのでは、と思う。
ガウスの法則は、任意の閉曲面の表面にどれだけ電場が貫くかを数え上げることで定量する。無論実際には、数え上げることはできないので、面全体にわたって、積分する子になーる。数え上げ、という概念でいうと、高校で電気力線とかやったような?あれは、何本と数えることが出来たので、電気力線の概念を使えば、数え上げもできる。

脇道にそれたところで、ガウスの法則を数式で表すと、

\begin{align}
\int_S (\bf{E})(\bf{r})\cdot \bf{n}(\bf{r})dS = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho(\bf{r})dV
\end{align}

電場Eは極板に垂直に出ていることから、E1と法線ベクトルは同じ向きを向いている。
この法線ベクトルの意味は、Eがもし少し角度が付ついていて、nと同じ方向を向いていない時、nの方向に正射影した時の成分の大きさを表す。E1は同じ向きなので、この内積の計算は、\(E1\Delta S1\)となる。E2の方向の電場成分は存在しないので0である。よって、

\begin{align}
\int_S (\bf{E})(\bf{r})\cdot \bf{n}(\bf{r})& = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho(\bf{r})dV \\
E1\times \cos0 + 0 \times \bf{n} &= \frac{\sigma \Delta S1}{\varepsilon_0}  \\
E1 \Delta S1 &= \frac{\sigma \Delta S1}{\varepsilon_0}  \\
E1 &= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}  
\end{align}

E1が与える電場が求められた。全体の電場はE2も必要なので足しあわせて、

\begin{align}
E = E1 + E2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}  
\end{align}

となる。無論E2は0だからトータルの電場EはE1と同じ値になるけれど。

次は電位を求めるたーぬ。場を求めてからの電位、の流れはよくあるたぬ。それを雰囲気説明していくたぬ!

電場から電位を求めよう!

電位というのは、工学では電圧とも呼ばれるやつで、みんなが普通に何V〜とか話しているものである。
実際は、1Cあたりのエネルギーなので、基本エネルギーだと思って良い。(Vの単位は[J/C])
高校の時に力学かなんかでエネルギーを求めたと思うけれど、運動方程式を位置で積分すればよいのであった。
下図の右はx=0の点で、Fの力をx軸方向にかけた時、力は摩擦により、各点でどんどん弱まり、F = 0になったところ(距離x = d)で静止することを示した図である。各位置での力を足し合わせるために、位置xで積分したのが力学で行ったことだ。

それと同様に、電場の場合も、位置で積分すれば、エネルギーが出る。しかし、電位はあくまで、1Cあたりのエネルギーであることに注意。

\begin{align}
\int_0^d E dx =  \frac{\sigma}{\varepsilon_0}  (d – 0) = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}  
\end{align}

 

やっと電位が求まったので、\(CV = q\)

\begin{align}
C \times \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}  &= q \\
C \frac{q d}{\varepsilon_0 A} &= q \\
C &= \frac{\varepsilon_0 A}{d}
\end{align}

Cは距離が長くなるほど、小さくなり、極板面積Aが大きいほど、大きくなる、という結果に。
これは、確かに最初に考えた、電気容量のイメージに合致している。(たまたまか!)
ここまで、やって、これをやっても回路の理解の手助けになるのか謎、、、という気持ちが芽生えております。
もとは、回路技術のためのコンデンサって名目だからなぁ〜
今、エミッタ接地回路とか、やってはいるのですが、マジで何に使うのか?とか、全然イメージわかない状態です。。。。

あと、wordpressで数式書くの難しいたぬ。。。><。
左端に数式を寄せたり、もう少し綺麗に見せたりとかできないものか。
説明とか、図とかも含めて、直したら、徐々に再更新していきます。
もし、コメントとかこうしたらいい!等意見ありましたら、連絡よろしくです。
また、wordpressで綺麗に数式書く方法も募集しております。